Das Zornsche Lemma

Veröffentlicht am Dienstag, 23. Dezember 2008, von infinity auf Alphane Moon

Das Zornsche Lemma, benannt nach dem Mathematiker Max August Zorn (1906 – 1993), begegnet einem häufig in der Mathematik. Zum Beispiel läßt sich mit seiner Hilfe beweisen, daß jeder Vektorraum, auch ein unendlich-dimensionaler, eine Basis besitzt. Das Zornsche Lemma ist zum Auswahlaxiom äquivalent, was hier auch gleich bewiesen wird.

Seltsame Katzen, fotografiert auf dem Viktualienmarkt in München.

Das Auswahlaxiom besagt: Jede Familie nicht leerer Mengen besitzt eine Auswahlfunktion.
Sei M eine Familie nicht leerer Mengen. Unter einer Auswahlfunktion für M versteht man dabei eine Funktion ƒ, so daß für jedes X ∈ M gilt ƒ(X) ∈ X.

Um das Zornsche Lemma formulieren zu können, benötigen wir einige Definitionen: partielle und lineare Ordnungen, maximales Element, obere Schranke und den Begriff der Kette.
Das Zornsche Lemma sagt dann, daß jede partiell geordnete Menge, in der jede Kette eine obere Schranke besitzt, ein maximales Element hat.

Definition. (Partielle Ordnung)

Sei M eine nicht leere Menge. Eine Relation ≤ auf M heißt partielle Ordnung, wenn für alle Elemente a, b, c in M gilt:

  1. a ≤ a (Reflexivität).
  2. Wenn a ≤ b und b ≤ a, so ist a = b (Antisymmetrie).
  3. Wenn a ≤ b und b ≤ c, so ist a ≤ c (Transitivität).

Gilt zusätzlich für alle a, b ∈ M a ≤ b oder b ≤ a, so heißt die Relation ≤ eine lineare Ordnung.

Beispiel für eine partielle Ordnung. Auf der Potenzmenge P(M) einer beliebigen Menge M ist die Teilmengenbeziehung ⊆ eine partielle Ordnung, im allgemeinen aber keine lineare Ordnung. Setze zum Beispiel M = {1, 2}. Dann ist P(M) = { ∅, {1}, {2}, {1, 2} }. Es gilt weder {1} ⊆ {2} noch {2} ⊆ {1}.

Definition. (Kette)

Sei (M,≤) eine partielle Ordnung. Eine Teilmenge A von M heißt Kette, wenn die Relation ≤ eingeschränkt auf A eine lineare Ordnung ist.

Definition. (maximales Element, obere Schranke)

Sei ≤ eine partielle Ordnung auf M. Eine Element b ∈ M heißt maximales Element von M, wenn es kein von b verschiedenes Element a ∈ M gibt mit b ≤ a.

Sei X ⊆ M. Eine Element b ∈ M heißt obere Schranke von X, wenn für alle a ∈ X gilt a ≤ b.

Satz. (Äquivalenz von AC und dem Zornschen Lemma)

In ZF sind äquivalent:

Beweis:

(i) → (ii)

Sei (X, ≤) eine partiell geordnete Menge, in der jede Kette eine obere Schranke besitzt.

Annahme: X besitzt kein maximales Element. Sei ƒ eine Auswahlfunktion für die Familie der nicht leeren Teilmengen von X. Wir wählen nun x(α) aus X durch transfinite Induktion, so daß gilt: α < β ⇒ x(α) < x(β). (▲)

Angenommen, wir hätten schon x(β) definiert für alle β mit β < α, so daß die Bedingung (▲) erfüllt ist. Dann definiere C(α) := { x(β) | β < α }. C(α) ist eine Kette in X, besitzt also nach Voraussetzung eine obere Schranke u ∈ X.

Definiere U(α) := { y ∈ X \ C(α) | y ist obere Schranke von C(α) }.

Wir zeigen jetzt, daß die Menge U(α) nicht leer ist:
Annahme: nicht. Dann ist u ∈ C(α). Da X kein maximales Element besitzt, gibt es ein Element v, so daß gilt u < v. Dann aber ist v ∈ U(α), Widerspruch zu U(α) = ∅.

U(α) ist also nicht leer, daher können wir x(α) = ƒ(U(α)) setzen. Dies definiert x(α) für alle Ordinalzahlen α, so daß X eine echte Klasse ist. Aber das ist unmöglich. Widerspruch.

(ii) → (i)

Sei M eine Familie nicht leerer Mengen, und sei X die Menge aller Auswahlfunktionen auf Teilmengen von M. X ist partiell geordnet durch folgende Relation:
ƒ ≤ g, falls dom ƒ ⊆ dom g und für alle A ∈ dom ƒ gilt ƒ(A) = g(A).

Sei C eine Kette in X. Wir können dann eine obere Schranke ƒ für C definieren, deren Definitionsbereich dom ƒ die Vereinigung der Definitionsbereiche der Elemente von C ist, und deren Werte für jedes g ∈ C mit A ∈ dom g durch ƒ(A) = g(A) gegeben ist. Nach Definition von dom ƒ existiert so ein g, und da C Kette ist, ist der Wert ƒ(A) unabhängig von der Wahl von g.

Die Voraussetzungen des Zornschen Lemmas sind jetzt erfüllt. Es folgt, daß X ein maximales Element ƒ besitzt. Dieses ƒ ist eine Auswahlfunktion für eine Teilmenge N von M.

Annahme: N ≠ M. Dann existiert ein A ∈ M \ N. Da A ≠ ∅ können wir ein a ∈ A wählen. Dann ist g mit dom g = N ∪ {A} gegeben durch g | N = ƒ, g(A) = a, echt größer als ƒ in X. Dies ist ein Widerspruch zur Maximalität von ƒ. Es gilt N = M. Also existiert eine Auswahlfunktion für M.

■

Links und Ressourcen

all content copyright © 2007-2010 Alphane Moon