Veröffentlicht am Montag, 12. April 2010, von infinity auf Alphane Moon
Wie der Titel schon sagt, geht es hier darum den dreidimensionalen Euklidischen Raum komplett in disjunkte Kreise zu zerlegen. Disjunkt bedeutet, daß zwei verschiedene Kreise keinen Punkt gemeinsam haben, ihre Schnittmenge soll also leer sein. Wenn wir unsere Sammlung von Kreisen haben, so sollen sie den dreidimensionalen Raum überdecken: jeder Punkt des Raumes liegt auf einem Kreis. Anders gesagt: die Vereinigung unserer disjunkten Kreise soll der ganze Raum sein, es gibt keinen Punkt, der nicht auf einem Kreis liegt.
Wir identifizieren den dreidimensionalen Raum mit der Menge aller Tripel reeller Zahlen:
ℝ³ = { (x, y, z) | x, y, z reelle Zahlen }
Diesen Raum kann man sich anschaulich vorstellen, man kann sich auch geometrische Objekte vorstellen, die sich darin aufhalten, zum Beispiel einen Quader oder eine Sphäre oder einen 3D-Entwurf eines Raumschiffs, außerdem noch Geraden, Ebenen und Kreise.
Aber ist es wirklich wahr, daß man den kompletten Raum mit Kreisen so vollstopfen kann, daß sich keine zwei Kreise berühren und auch wirklich kein Punkt des Raumes übrigbleibt?
Veröffentlicht am Dienstag, 23. Dezember 2008, von infinity auf Alphane Moon
Das Zornsche Lemma, benannt nach dem Mathematiker Max August Zorn (1906 - 1993), begegnet einem häufig in der Mathematik. Zum Beispiel läßt sich mit seiner Hilfe beweisen, daß jeder Vektorraum, auch ein unendlich-dimensionaler, eine Basis besitzt. Das Zornsche Lemma ist zum Auswahlaxiom äquivalent, was hier auch gleich bewiesen wird.
Um das Zornsche Lemma formulieren zu können, benötigen wir einige Definitionen: partielle und lineare Ordnungen, maximales Element, obere Schranke und
den Begriff der Kette.
Das Zornsche Lemma sagt dann, daß jede partiell geordnete Menge, in der jede Kette eine obere Schranke besitzt, ein maximales Element hat.
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